Kaip rasti skaičių aritmetinį ir geometrinį vidurkį? Kaip apskaičiuoti aritmetinį vidurkį Kaip rasti skaičių aritmetinį vidurkį.

Kas yra aritmetinis vidurkis

Kelių dydžių aritmetinis vidurkis yra šių dydžių sumos ir jų skaičiaus santykis.

Tam tikros skaičių serijos aritmetinis vidurkis yra visų šių skaičių suma, padalyta iš terminų skaičiaus. Taigi aritmetinis vidurkis yra vidutinė skaičių eilutės reikšmė.

Koks yra kelių skaičių aritmetinis vidurkis? Ir jie yra lygūs šių skaičių sumai, kuri yra padalinta iš šios sumos narių skaičiaus.

Kaip rasti aritmetinį vidurkį

Apskaičiuojant ar surandant kelių skaičių aritmetinį vidurkį nėra nieko sudėtingo, pakanka sudėti visus pateiktus skaičius ir gautą sumą padalyti iš terminų skaičiaus. Gautas rezultatas bus šių skaičių aritmetinis vidurkis.

Pažvelkime į šį procesą išsamiau. Ką turime padaryti, kad apskaičiuotume aritmetinį vidurkį ir gautume galutinį šio skaičiaus rezultatą.

Pirma, norint jį apskaičiuoti, reikia nustatyti skaičių rinkinį arba jų skaičių. Šiame rinkinyje gali būti dideli ir maži skaičiai, o jų skaičius gali būti bet koks.

Antra, visus šiuos skaičius reikia sudėti ir gauti jų sumą. Natūralu, kad jei skaičiai paprasti ir jų nedaug, tai skaičiavimus galima atlikti rašant juos ranka. Bet jei skaičių rinkinys įspūdingas, geriau naudoti skaičiuotuvą ar skaičiuoklę.

Ir ketvirta, suma, gauta sudėjus, turi būti padalinta iš skaičių. Dėl to gausime rezultatą, kuris bus šios serijos aritmetinis vidurkis.

Kam reikalingas aritmetinis vidurkis?

Aritmetinis vidurkis gali būti naudingas ne tik sprendžiant pavyzdžius ir uždavinius matematikos pamokose, bet ir kitais kasdieniame žmogaus gyvenime reikalingais tikslais. Tokie tikslai gali būti aritmetinio vidurkio apskaičiavimas, norint apskaičiuoti vidutines finansines išlaidas per mėnesį, arba skaičiuoti laiką, kurį praleidžiate kelyje, taip pat norint sužinoti lankomumą, našumą, judėjimo greitį, derlių ir daug daugiau.

Taigi, pavyzdžiui, pabandykime suskaičiuoti, kiek laiko praleidžiate keliaudami į mokyklą. Eidami į mokyklą ar grįždami namo kelyje kaskart praleidžiate skirtingą laiką, nes skubėdami eini greičiau, todėl kelias užtrunka mažiau. Tačiau grįžus namo galima vaikščioti lėtai, bendrauti su klasės draugais, grožėtis gamta, todėl kelionė užtruks daugiau laiko.

Todėl tiksliai nustatyti kelyje praleisto laiko nepavyks, tačiau aritmetinio vidurkio dėka galite apytiksliai sužinoti kelyje praleistą laiką.

Tarkime, kad pirmą dieną po savaitgalio pakeliui iš namų į mokyklą praleidote penkiolika minučių, antrą dieną kelionė truko dvidešimt minučių, trečiadienį atstumą įveikėte per dvidešimt penkias minutes, o kelionė truko tiek pat. ketvirtadienį laiko, o penktadienį neskubėjai ir grįžai visam pusvalandžiui.

Raskime visų penkių dienų aritmetinį vidurkį, pridėdami laiką. Taigi,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Dabar šią sumą padalinkite iš dienų skaičiaus

Šio metodo dėka sužinojote, kad kelionė iš namų į mokyklą užtrunka maždaug dvidešimt tris minutes jūsų laiko.

Namų darbai

1. Naudodami paprastus skaičiavimus raskite savaitės mokinių lankomumo klasėje aritmetinį vidurkį.

2. Raskite aritmetinį vidurkį:

3. Išspręskite problemą:

Aritmetinis vidurkis yra žinomiausias statistinis rodiklis. Šioje pastaboje apžvelgsime jo reikšmę, skaičiavimo formules ir savybes.

Aritmetinis vidurkis kaip matematinio lūkesčio įvertis

Tikimybių teorija nagrinėja atsitiktinių dydžių tyrimus. Tam konstruojamos įvairios charakteristikos, apibūdinančios jų elgesį. Viena iš pagrindinių atsitiktinio dydžio savybių yra jo matematinis lūkestis, kuris yra tam tikras centras, aplink kurį grupuojamos likusios reikšmės.

Tikėjimo formulė yra tokia:

Kur M(X)- tikėtina vertė

x i yra atsitiktiniai dydžiai

p i– jų tikimybės.

Tai yra, matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis yra svertinė atsitiktinio dydžio reikšmių suma, kur svoriai yra lygūs atitinkamoms tikimybėms.

Matematinė taškų sumos, gautos metant du kauliukus, lūkestis yra 7. Tai nesunku apskaičiuoti, jei žinai tikimybes. Kaip apskaičiuoti lūkesčius, jei tikimybės nežinomos? Yra tik stebėjimų rezultatas. Įsijungia statistika, kuri leidžia mums gauti apytikslę lūkesčių vertę, pagrįstą faktiniais stebėjimo duomenimis.

Matematinė statistika suteikia keletą galimybių įvertinti matematinius lūkesčius. Pagrindinis iš jų yra aritmetinis vidurkis.

Aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas pagal formulę, kurią žino kiekvienas moksleivis.

Kur x i– kintamos reikšmės,
n– reikšmių skaičius.

Aritmetinis vidurkis yra tam tikro rodiklio reikšmių sumos ir tokių verčių (stebėjimų) skaičiaus santykis.

Aritmetinio vidurkio savybės (matematinis lūkestis)

Dabar pažvelkime į aritmetinio vidurkio savybes, kurios dažnai naudojamos algebrinėse manipuliacijose. Teisingiau būtų grįžti prie termino matematinis lūkestis, nes Būtent jo savybės pateikiamos vadovėliuose.

Matematinis lūkestis rusakalbėje literatūroje paprastai žymimas M(X) užsienio vadovėliuose galite matyti E(X); Yra žymėjimas su graikiška raide μ (skaitykite „mu“). Patogumui siūlau variantą M(X).

Taigi, nuosavybė 1. Jei yra kintamieji X, Y, Z, tai matematinis jų sumos lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai.

M(X+Y+Z) = M(X) + M(Y) + M(Z)

Tarkime, automobilio M(X) plovimui vidutiniškai praleidžiama 20 min., o pripučiamų ratų M(Y) – 5 min. Tada bendras aritmetinis vidutinis plovimo ir siurbimo laikas bus M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 20 + 5 = 25 minutės.

2 nuosavybė. Jei kintamasis (t. y. kiekviena kintamojo reikšmė) padauginamas iš pastovios reikšmės (a), tai matematinis tokios reikšmės lūkestis yra lygus kintamojo ir šios konstantos lūkesčių sandaugai.

Pavyzdžiui, vieno automobilio M(X) vidutinis plovimo laikas yra 20 minučių. Tada vidutinis dviejų automobilių plovimo laikas bus M(aX) = aM(X) = 2*20 = 40 minučių.

3 nuosavybė. Matematinis pastovios reikšmės (a) lūkestis yra pati ši reikšmė (a).

Jei nustatyta lengvojo automobilio plovimo kaina yra 100 rublių, tai vidutinė kelių automobilių plovimo kaina taip pat yra 100 rublių.

4 nuosavybė. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.

M(XY) = M(X)M(Y)

Vidutiniškai plovykla per dieną aptarnauja 50 automobilių (X). Vidutinis čekis yra 100 rublių (Y). Tada vidutinės automobilių plovimo pajamos per dieną M(XY) lygios vidutinio kiekio M(X) sandaugai iš vidutinio tarifo M(Y), t.y. 50 * 100 = 500 rublių.

Vidutinė formulė „Excel“.

„Excel“ skaičių aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas naudojant funkciją VIDUTINIS. Tai atrodo maždaug taip.

Ši formulė turi nuostabią savybę. Jei diapazone, pagal kurį apskaičiuojama formulė, yra tuščių langelių (ne nulis, o tušti), tada jie neįtraukiami į skaičiavimą.

Funkciją galite iškviesti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, skirtuke naudokite komandą autosum namai:

Iškvietę formulę, turite nurodyti duomenų diapazoną, per kurį skaičiuojama vidutinė vertė.

Taip pat yra standartinis metodas visoms funkcijoms. Reikia paspausti mygtuką fx formulės eilutės pradžioje. Tada naudodami paiešką arba tiesiog iš sąrašo pasirinkite funkciją AVERAGE (kategorijoje „Statistika“).

Svertinis aritmetinis vidurkis

Apsvarstykite šią paprastą problemą. Tarp taškų A ir B atstumą S automobilis įveikia 50 km/h greičiu. Priešinga kryptimi – 100 km/h greičiu.

Koks buvo vidutinis važiavimo greitis iš A į B ir atgal? Dauguma žmonių atsakys 75 km/h greičiu (vidurkis 50 ir 100) ir tai neteisingas atsakymas. Vidutinis greitis yra bendras nuvažiuotas atstumas, padalytas iš viso praleisto laiko. Mūsų atveju visas atstumas yra S + S = 2*S (ten ir atgal), visą laiką sumuojant nuo laiko nuo A iki B ir nuo B iki A. Žinant greitį ir atstumą, lengva rasti Laikas. Pradinė vidutinio greičio nustatymo formulė yra tokia:

Dabar paverskime formulę patogia forma.

Pakeiskime reikšmes.

Teisingas atsakymas: vidutinis automobilio greitis buvo 66,7 km/val.

Vidutinis greitis iš tikrųjų yra vidutinis atstumas per laiko vienetą. Todėl, norėdami apskaičiuoti vidutinį greitį (vidutinį atstumą per laiko vienetą), naudojame svertinis aritmetinis vidurkis pagal šią formulę .

Kur x– analizuojamas rodiklis; f- svoris.

Panašiai pagal svertinio vidurkio formulę apskaičiuojama vidutinė kaina (vidutiniai kaštai vienam produkcijos vienetui), vidutinis procentas ir kt. Tai yra, jei vidurkis skaičiuojamas pagal kitas vidutines vertes, reikia naudoti svertinį vidurkį, o ne paprastą.

Svertinio vidurkio formulė „Excel“.

Įprasta „Excel“ vidurkio funkcija AVERAGE, deja, apskaičiuoja tik paprastą vidurkį. „Excel“ nėra parengtos svertinio vidurkio formulės. Tačiau skaičiavimą lengva atlikti naudojant improvizuotas priemones.

Suprantamiausias variantas – sukurti papildomą stulpelį. Tai atrodo maždaug taip.

Galima sumažinti skaičiavimų skaičių. Yra funkcija SUMPRODUCT. Su jo pagalba galite vienu žingsniu apskaičiuoti skaitiklį. Galite padalyti iš svorių sumos toje pačioje langelyje. Visa svertinio vidurkio skaičiavimo formulė „Excel“ atrodo taip:

SUMMA(B3:B5,C3:C5)/SUM(C3:C5)

Svertinio vidurkio aiškinimas yra toks pat, kaip ir paprasto vidurkio. Vidutinis paprastas yra ypatingas svertinis atvejis, kai visi svoriai yra lygūs 1.

Įsivaizduokime, kad yra mezgimo adata, ant kurios skirtingose ​​vietose suverti skirtingos masės svareliai.

Kaip rasti svorio centrą? Svorio centras yra taškas, kurį galite sugriebti, o stipinas išliks horizontalioje padėtyje ir neapvirs veikiamas gravitacijos. Jis turi būti visų masių centre, kad jėgos kairėje būtų lygios jėgoms dešinėje. Norėdami rasti pusiausvyros tašką, turėtumėte apskaičiuoti svertinių atstumų nuo mezgimo adatos pradžios iki kiekvieno svorio aritmetinį vidurkį. Svarstyklės bus svorių masės (m i), kurios tiesiogine to žodžio prasme atitinka svorio sąvoką. Taigi aritmetinis vidutinis atstumas yra sistemos pusiausvyros centras, kai jėgos vienoje taško pusėje subalansuoja kitoje pusėje esančias jėgas.

Ir paskutinis dalykas. Rusų kalba taip atsitinka, kad žodis „vidutinis“ paprastai reiškia aritmetinį vidurkį. Tai yra, režimas ir mediana kažkaip paprastai nėra vadinami vidutine verte. Tačiau anglų kalboje žodis „average“ gali būti interpretuojamas kaip aritmetinis vidurkis (vidurkis), kaip režimas (mode) ir kaip mediana (mediana). Taigi skaitydami užsienio literatūrą turėtumėte būti budrūs.

Norint rasti vidutinę reikšmę Excel (nesvarbu, ar tai skaitinė, tekstinė, procentinė ar kita reikšmė), yra daug funkcijų. Ir kiekvienas iš jų turi savo ypatybes ir privalumus. Iš tiesų, atliekant šią užduotį, gali būti nustatytos tam tikros sąlygos.

Pavyzdžiui, vidutinės skaičių serijos reikšmės programoje „Excel“ apskaičiuojamos naudojant statistines funkcijas. Taip pat galite rankiniu būdu įvesti savo formulę. Apsvarstykime įvairius variantus.

Kaip rasti skaičių aritmetinį vidurkį?

Norint rasti aritmetinį vidurkį, reikia susumuoti visus aibės skaičius ir padalyti sumą iš kiekio. Pavyzdžiui, mokinio informatikos pažymiai: 3, 4, 3, 5, 5. Kas įskaičiuota į ketvirtį: 4. Aritmetinį vidurkį radome pagal formulę: =(3+4+3+5+5) /5.

Kaip greitai tai padaryti naudojant „Excel“ funkcijas? Paimkime, pavyzdžiui, atsitiktinių skaičių seriją eilutėje:

Arba: sukurkite aktyvų langelį ir tiesiog rankiniu būdu įveskite formulę: = AVERAGE(A1:A8).

Dabar pažiūrėkime, ką dar gali padaryti funkcija AVERAGE.

Raskime pirmųjų dviejų ir paskutinių trijų skaičių aritmetinį vidurkį. Formulė: =VIDUTINIS(A1:B1,F1:H1). Rezultatas:



Būklė vidutinė

Aritmetinio vidurkio nustatymo sąlyga gali būti skaitinis arba tekstinis kriterijus. Naudosime funkciją: =AVERAGEIF().

Raskite skaičių, kurie yra didesni arba lygūs 10, aritmetinį vidurkį.

Funkcija: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Funkcijos AVERAGEIF naudojimo su sąlyga ">=10" rezultatas:

Trečiasis argumentas – „Averaging range“ – praleistas. Visų pirma, tai nėra būtina. Antra, programos analizuojamame diapazone yra TIK skaitinės reikšmės. Pirmajame argumente nurodytų langelių bus ieškoma pagal antrajame argumente nurodytą sąlygą.

Dėmesio!

Paieškos kriterijus galima nurodyti langelyje. Ir padarykite nuorodą į ją formulėje.

Raskime vidutinę skaičių reikšmę naudodami teksto kriterijų. Pavyzdžiui, vidutiniai prekės pardavimai „lentelės“.

Funkcija atrodys taip: = AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Diapazonas – stulpelis su prekių pavadinimais. Paieškos kriterijus yra nuoroda į langelį su žodžiu „lentelės“ (vietoj nuorodos A7 galite įterpti žodį „lentelės“). Vidurkinimo diapazonas – tie langeliai, iš kurių bus imami duomenys vidutinei vertei apskaičiuoti.

Apskaičiavę funkciją gauname tokią reikšmę:

Dėmesio!

Teksto kriterijui (sąlygai) turi būti nurodytas vidurkinimo diapazonas.

Kaip apskaičiuoti vidutinę svertinę kainą Excel?

Kaip mes sužinojome vidutinę svertinę kainą?

Formulė: =SUMMA(C2:C12,B2:B12)/SUMMA(C2:C12).

Yra bendrosios aibės ir imties standartiniai nuokrypiai. Pirmuoju atveju tai yra bendros dispersijos šaknis. Antroje – iš imties dispersijos.

Šiam statistiniam rodikliui apskaičiuoti sudaroma sklaidos formulė. Iš jo išgaunama šaknis. Tačiau „Excel“ yra paruošta funkcija standartiniam nuokrypiui rasti.

Standartinis nuokrypis yra susietas su šaltinio duomenų mastu. To nepakanka vaizdiniam analizuojamo diapazono kitimo pavaizdavimui. Norint gauti santykinį duomenų sklaidos lygį, apskaičiuojamas variacijos koeficientas:

standartinis nuokrypis / aritmetinis vidurkis

„Excel“ formulė atrodo taip:

STDEV (reikšmių diapazonas) / AVERAGE (reikšmių diapazonas).

Variacijos koeficientas apskaičiuojamas procentais. Todėl langelyje nustatome procentų formatą.

Dažniausias vidurkio tipas yra aritmetinis vidurkis.

Paprastas aritmetinis vidurkis

Paprastas aritmetinis vidurkis – tai vidutinis terminas, nustatantis, kurio bendras tam tikro požymio kiekis duomenyse pasiskirsto tolygiai tarp visų vienetų, įtrauktų į pateiktą aibę. Taigi vidutinė metinė produkcija vienam darbuotojui yra produkcijos kiekis, kurį pagamintų kiekvienas darbuotojas, jei visa produkcijos apimtis būtų tolygiai paskirstyta visiems organizacijos darbuotojams. Paprastoji aritmetinio vidurkio vertė apskaičiuojama pagal formulę:

Paprastas aritmetinis vidurkis— lygus charakteristikos individualių verčių sumos ir charakteristikų skaičiaus visumoje santykiui

1 pavyzdys. 6 darbuotojų komanda per mėnesį gauna 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tūkst.

Raskite vidutinį atlyginimą
Sprendimas: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tūkst.

Svertinis aritmetinis vidurkis

Jei duomenų rinkinio apimtis yra didelė ir atitinka pasiskirstymo eilutę, tada apskaičiuojamas svertinis aritmetinis vidurkis. Taip nustatoma vidutinė svertinė produkcijos vieneto kaina: bendroji produkcijos savikaina (jos kiekio produktų suma iš produkcijos vieneto kainos) dalijama iš bendro produkcijos kiekio.

Įsivaizduokime tai tokios formulės forma:

Svertinis aritmetinis vidurkis— lygus (požymio vertės sandaugų ir šio požymio pasikartojimo dažnio sandaugai) ir (visų požymių dažnių sumai) Naudojamas, kai atsiranda tiriamos populiacijos variantai nevienodą skaičių kartų.

2 pavyzdys. Raskite vidutinį dirbtuvių darbuotojų atlyginimą per mėnesį

Vidutinį darbo užmokestį galima gauti padalijus bendrą darbo užmokestį iš bendro darbuotojų skaičiaus:

Atsakymas: 3,35 tūkst.

Aritmetinis intervalų eilučių vidurkis

Skaičiuodami intervalo variacijų serijos aritmetinį vidurkį, pirmiausia nustatykite kiekvieno intervalo vidurkį kaip viršutinės ir apatinės ribos pusę, o tada visos serijos vidurkį. Atvirų intervalų atveju apatinio arba viršutinio intervalo reikšmė nustatoma pagal šalia jų esančių intervalų dydį.

Iš intervalų eilučių apskaičiuoti vidurkiai yra apytiksliai.

3 pavyzdys. Nustatykite vakarinių studentų amžiaus vidurkį.

Iš intervalų eilučių apskaičiuoti vidurkiai yra apytiksliai. Jų aproksimacijos laipsnis priklauso nuo to, kiek faktinis populiacijos vienetų pasiskirstymas intervale artėja prie vienodo pasiskirstymo.

Skaičiuojant vidurkius, kaip svorius gali būti naudojamos ne tik absoliučios, bet ir santykinės reikšmės (dažnis):

Aritmetinis vidurkis turi daug savybių, kurios geriau atskleidžia jo esmę ir supaprastina skaičiavimus:

1. Vidurkio sandauga iš dažnių sumos visada lygi varianto sandaugų pagal dažnius sumai, t.y.

2. Kintamų dydžių sumos aritmetinis vidurkis yra lygus šių dydžių aritmetinių vidurkių sumai:

3. Individualių charakteristikų verčių nuokrypių nuo vidurkio algebrinė suma lygi nuliui.